将 4 个编号为1,2,3,4的小球放入 4 个编号为1,2,3,4的盒子中。
有多少种放法？
这个只需要对每个小球有四种情况进行考虑，直接得到4^4 = 256
每盒至多一球，有多少种放法？
一对一，全排列即可，A^4_4 = 24
恰好有一个空盒，有多少种放法？
三个球放入四个盒子中，非空，有dfrac{binom{4}{2} binom{2}{1} binom{1}{1}}{2!} times 3! = 36种，再选择一个空盒子，共36 times 4 = 144种。
另一种方法是进行捆绑，只要将任意两个球捆绑起来分配，即符合条件，共binom{4}{2} times A^3_4 = 144种。
4 号盒子至少放一个球，有多少种放法？
正难则反，考虑 4 号无球，共3^4种，则有4^4 - 3^4 = 256 - 81 = 175种。
每个盒子内放一个球，且恰好有一个球的编号与盒子编号相同，有多少种放法？
枚举恰好相同的那个球，然后剩下的盒子与球做错位匹配。
不妨设 1 号球放到 1 号盒子中，则 2，3，4 球可能的放法有：(3,4,2),(4,2,3)，两种。
那么对于 4 个球，共2 times 4 = 8种。
若第k号球恰好放入第k号盒子称为一个巧合，求巧合X的数学期望？
一个直观的想法是dfrac{1}{k} times k = 1，然而这不是独立事件，似乎不能这样直接计算。然而有趣的是买小球买小球，答案确实就是1
考虑k号球放入k号盒子中的事件在所有情况中恰好出现k^{k-1}次，则其对答案的贡献为1 times k^{k-1}
那么对每个球都如此考虑，总贡献即为k times k^{k-1} = k^k，而总情况数即为k^k，因此期望为1
大概是这样，，不知道有没有错误。
把 4 个不同的小球换成 4 个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
选出空盒子后，也就是求将 4 个相同小球装入 3 个盒子中的方法。
C^3_4 C^1_3 = 12
把 4 个不同的小球换成 20 个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于其编号数，求放法数量？
考虑x_i代表i号盒子的数量，sum x_i = 20，要求x_i ge i，不难构造：x_1 + (x_2 - 1)+ (x_3 - 2) + (x_4 - 3) = 14，其中x_1 ge 1,x_2 - 1 ge 1,x_3 - 2 ge 1,x_4 - 3 ge 1
因此用隔板法求解即可，答案即为binom{13}{3} = 286
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